课本：《理论力学（I）》（第六版） 哈尔滨工业大学理论力学教研室 编
¶绪论
一、任务
研究物体机械运动一般规律的科学
一般规律 -> 特殊规律：
陀螺：定向性 | 地震时房屋桥梁的震动：机械振动
一般规律：最一般最普遍、一般工程中最常遇到
为了研究问题的方便，将理论力学分为三部分：
静力学：研究物体受力分析，力系等效替换，建立各种力系的平衡条件的科学
运动学：研究物体机械运动几何性质的科学
动力学：研究物体机械运动几何性质与作用力之间关系的科学
二、研究方法
从实践到理论、从理论到实践，循环往复、不断上升
抽象：质点、刚体
分类法
三、目的
- 直接解决工程实际问题
- 为后继课程打基础
四、特点
理论易懂、掌握困难
¶静力学
¶静力学引言
一、任务
二、基本概念
- 力：物体之间的相互机械作用，使得物体的机械运动状态发生变化
（什么作用都可以，不一定加 “机械” 两个字） - 力的三要素：大小、方向、作用点
书写：$\boldsymbol F$ 或 $\vec F$
- 力系：共点力系、汇交力系、平行力系、任意力系；平面力系、空间力系；力偶系；共线力系；
- 刚体和变形体：相对的
- 力的可传性：对刚体成立，对变形体不成立
- 平衡：物体相对地面静止，或者作匀速直线运动
¶静力学公理和物体的受力分析
¶$\S\ 1-1$ 静力学公理
一、二力平衡公理
作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力的大小相等，方向相反，且作用在同一直线上
二、加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用
推论一：力的可传性
作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用
三、平行四边行公理（法则）
$$\boldsymbol F_R = \boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2$$
推论二：三力平衡汇交定理
一个刚体在三个力的作用下平衡，有两个力的作用线已经交于一点，第三个力能不能作用在任意位置？
推导：力的可传性 $\rightarrow$ 平行四边形法则 $\rightarrow$ 二力平衡公理
第三个力的作用线必须通过汇交点，且三个力在同一平面内
四、作用反作用公理（定律）
作用力与反作用力：大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上
$$\boldsymbol F = - \boldsymbol F’$$
五、刚化公理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变
¶$\S\ 1-2$ 约束和约束力
约束：限制物体位移的物体
约束力：约束给被约束物体的力，约束力的方向必与该约束所能够阻碍的位移方向相反
约束分类：
一、光滑（面、线、点）接触约束
阻碍物体沿接触表面法线并向约束内部的位移
作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线并指向被约束的物体（法向约束力）
二、柔性体（各种绳索、皮带、链条等）约束
约束力只可能是拉力
三、光滑铰链（径向轴承、圆柱型销钉、固定铰支座等）约束
向心轴承（径向轴承）
主动力未确定，接触点不能确定，约束力的方向不能确定
但约束力的作用线必垂直于轴线并通过轴心，可用通过轴心的两个正交分力 $\boldsymbol F_{Ax}$，$\boldsymbol F_{Ay}$ 表示
圆柱型销钉（圆柱铰链）（太抽象了，想想剪刀）
圆柱铰链，即由销钉将两个钻有同样大小孔的构件连接在一起而成
固定铰支座，即铰链连接中有一个固定在地面或机架上作为支座
径向轴承、圆柱型销钉、固定铰支座，这三种约束的具体结构不同
但构成约束的性质是相同的，都可以表示为光滑铰链
特点是：只限制两物体径向的相对移动，而不限制两物体铰链中心的相对转动及沿轴向的位移
四、其他分类
（1）可（滚）动铰支座
在固定铰链支座与光滑支承面之间装有辊轴，约束性质与光滑面约束相同
（2）球铰链
通过圆球与球壳将两个构件连接在一起的约束
构件的球心不能有位移，但构件可绕球心任意转动
其约束力是一个通过接触点与球心，方向不能预先确定的空间法向约束力
可用三个正交分力 $\boldsymbol F_{Ax}$，$\boldsymbol F_{Ay}$，$\boldsymbol F_{Az}$
（3）止推轴承
与径向轴承相比，不仅限制轴的径向位移，还限制轴沿轴向的位移
即多了一个沿轴向的约束力，即有三个正交分量 $\boldsymbol F_{Ax}$，$\boldsymbol F_{Ay}$，$\boldsymbol F_{Az}$
实际工程应用
¶$\S\ 1-3$ 物体的受力分析和受力图
受力分析 | 主动力 | 被动力 | 受力体 | 施力体 | 取研究对象 / 取分离体 | 受力图
步骤通常为：
- 取研究对象 / 取分离体，画出简图
- 画出所有主动力
- 依据约束性质画出所有约束力（不画内力）
一个例子：
有这样一个平面三角构架，A、C 点均用固定铰支座连接到垂直平面，B 点以圆柱型销钉连接 AB 与 BC 杆，对 AB、BC 两杆作受力分析，并画出受力图（具体工程应用：老式火车行李架）
为了研究 AB、BC 杆的受力情况，我们将其分离出来，这有个说法，叫取分（隔）离体，AB 杆上物体受重力 $\boldsymbol P$，AB 杆自重为 $\boldsymbol P_1$，这一类力为主动力，一般是已知的，如物体的重力、风力、气体压力
对水平杆分析受力，方向均不能确定，用两个正交分量来表示，由受力图可知，$\boldsymbol F_{Ax}$ 与 $\boldsymbol F_{Bx}$ 必为一正一负
由作用反作用公理，B 点的受力可以表示，C 点受的力方向不能确定，也用两个正交分量来表示
上图只能算一个 “质量不好” 的受力图，什么是好的呢？
（我们先加一个条件不计（忽略）杆的自重）
我们看到，BC 杆实质上是在两个力的作用下平衡，作用点分别在 B、C 点，由二力平衡公理，这两个力必定沿同一直线，且等值反向，作用线是确定的，即沿 B、C 的连线，可见 BC 杆就是受压力的
这里有一个新名词，这样的杆件叫做 “二力杆”，如果是构件的话，就叫 “二力构件”，即只在两个力作用下平衡的构件，二力构件的受力特点是，两个力必定沿着两个力作用点的连线，且大小相等，方向相反
判断二力构件的依据就是二力平衡公理，做题经常用上
由作用反作用公理，可以确定水平杆中 B 点的受力情况，再由三力平衡汇交定理，A 点处的受力情况也可确定
为了美观和节省空间，这里的斜杆通常是弧形杆，做受力分析，发现它还是二力杆，所以的话，二力杆与杆件形状没有关系，仅与其受力有关
又一个例子：
AB 杆受到一个垂直的作用力 $\boldsymbol F$，A 点以固定铰支座连接到地面，B 点与垂直于地面的光滑墙面接触，对 AB 杆作受力分析，并画出受力图
容易出错的是，误将墙面的支持力方向判断为垂直于 AB 杆向上，若是这样，将这个力分解，既有水平分力又有竖直分力，墙面光滑，可能产生竖直分力的摩擦力不会有，只可能有水平方向上的力
正确的分析步骤：
由于是光滑接触约束，约束力作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线并指向被约束的物体，将该力记为 $\boldsymbol F_{NB}$，如图所示；A 点处对杆的作用力（记为 $\boldsymbol F_{RA}$）可以表示为两个正交分力 $\boldsymbol F_{Ax}$ 与 $\boldsymbol F_{Ay}$，也可由三力平衡汇交定理判断出 $\boldsymbol F_{RA}$ 的方向（用不用三力平衡汇交定理因题而异）
¶$\S\ 1-4$ 力学模型和力学简图（补充）
力学建模：将实际问题抽象为力学模型的过程
力学建模的原则
- 抓住关键、本质因素、忽略次要因素
- 多方面进行抽象化处理
在实际问题的处理中，通常
- 将非均匀材料假设成均匀
- 将结构有变形的抽象成刚体
- 将三维物体处理成二维
- 将复杂形状简化为简单形状
- 将载荷简化为集中力或分布力
- 将很多约束简化为理想约束
力学简图：将力学模型用简单明了的图形来表示
一个力学简图可能对应多种实际结构，一个实际结构也可能简化成不同的力学模型
¶平面汇交力系与平面力偶系
¶$\S\ 2-1$ 平面汇交力系合成与平衡的几何法
汇交力系：
各力的作用线都汇交于一点的力系。可分为空间汇交力系和平面汇交力系
合力：
多个力汇交于一点，如果能用一个力来等效替换，此力称为合力
如果一个力与某一力系等效，则称此力为该力系的合力
（1）两个共点力的合成：力三角形规则
注意：力三角形规则求出的是合力的大小和方向，作用点仍在交汇点
（2）多个汇交力的合成：力多边形规则
$$\boldsymbol F_{R1} = \boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2$$
$$\boldsymbol F_{R2} = \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol F_i = \boldsymbol F_{R1}+ \boldsymbol F_3$$
$$…$$
$$\boldsymbol F_{R} = \boldsymbol F_1 + \boldsymbol F_2 + \cdots + \boldsymbol F_n = \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol F_i$$
注意：力多边形规则求出的是合力的大小和方向，作用点仍在交汇点
（3）汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零，即
$$\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol F_i = \boldsymbol 0$$
在平衡情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形，可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件
力多边形规则求合力和平衡的几何条件适用于任意汇交力系
这里是一个例子：
支架的横梁 AB 与斜杆 DC 彼此以铰链 C 相联接，并各以铰链 A，D 连接于铅直墙上，如图所示
已知 AC = CB，杆 DC 与水平线成 45 度角，载荷 $F = 10 \ \text{kN}$，作用于 B 点。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链 A 的约束力和杆 DC 所受的力
DC 为二力杆，受压，取横梁 AB 为研究对象，横梁在 B 处受载荷 $\boldsymbol F$ 作用，在 C 处受反作用力，在 A 处受铰链 A 的约束力 $\boldsymbol F_A$，可由三力平衡汇交定理确定
汇交力系，利用平衡的几何条件，画封闭的力三角形
根据三角函数计算（$\tan\theta = \dfrac{1}{2}$）可知
$$\boldsymbol F_C = 28.3 \ \text{kN}\ \ \ \ \boldsymbol F_A = 22.4 \ \text{kN}$$
¶$\S\ 2-2$ 平面汇交力系合成与平衡的解析法
（1）力在直角坐标系上的投影和力沿轴的分解
力 $\boldsymbol F$ 在这个平面直角坐标系中向 x 轴上投影，得到它在 x 轴上的大小 $F_x$
显然，$F_x = F\cos\theta$，类似的，我们可以得到力 $\boldsymbol F$ 在 y 轴上的投影 $F_y = F\sin\theta$
由力的平行四边形法则，我们知道可以将力 $\boldsymbol F$ 表示成 $F_x$ 和 $F_y$ 的矢量和，即
$$\boldsymbol F = \boldsymbol F_x + \boldsymbol F_y = F_x \boldsymbol i + F_y \boldsymbol j$$
其中，$F_x$，$F_y$ 即为 $\boldsymbol F$ 在 x 轴和 y 轴上的分量的大小，等于 $\boldsymbol F$ 在两个坐标轴上的投影，这就是力沿直角坐标轴的分解
力在坐标轴上的投影一般不等于力沿着该坐标轴的分解，但是直角坐标系下二者是相等的，所以一般的静力学问题大多选择在直角坐标系下进行分析
（2）平面汇交力系合成的解析法
$$\boldsymbol F_R = \sum \boldsymbol F_i$$
由合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴上投影的代数和，得合力投影定理：
$$F_{Rx} = \sum F_{ix}\ \ \ \ F_{Ry} = \sum F_{iy}$$
合力的大小为：
$$F_R = \sqrt{{F_{Rx}}^2 + {F_{Ry}}^2}$$方向为：
$$\cos(\boldsymbol F_R, \boldsymbol i) = \dfrac{\sum F_{ix}}{F_R} \ \ \ \ \cos(\boldsymbol F_R, \boldsymbol j) = \dfrac{\sum F_{iy}}{F_R}$$作用点为力的汇交点
（3）平面汇交力系平衡的解析条件（平衡方程）
由 $\S 2-1$ 可知，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力 $\boldsymbol F_R$ 等于零，即
$$F_R = \sum \boldsymbol F_i = \sqrt{(\sum F_{ix})^2+(\sum F_{iy})^2} = 0$$欲使上式成立，必须同时满足
$$\sum F_{ix} = 0 \ \ \ \ \sum F_{iy} = 0$$
这就是平面汇交力系的平衡方程，即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零
